常见极限及其证明

常见极限及其证明极限部分(1)limann=+∞(a>1)证明

(2)limnn=1证明

(3)limann=+∞求极限 lim∑in1n2+i

(4)nn2+n≤∑in1n2+i≤nn2+1证明部分极限1证明(5)limann=lim(1+λ)nn=lim1+nλ+n(n−1)2λ2+...+λnn>limn(n−1)2nλ2>limn4λ2又λ=a−1

(6)limann>limn4λ2=lim(a−1)24n=+∞(7)∴limann=+∞或者使用斯托尔茨定律

(8)limann=liman−an−1n−(n−1)=liman(1−1a)=+∞极限2证明将a=nn代入不等式中：

(9)an>(a−1)24n2得到

(10)n>(nn−1)24n2化简得到

(11)0

证明方法斯托尔茨定律：∞∞型不定式如果有 yn→+∞ , 而且存在 N，使得当 n>N 时 yn 递增，有

(12)limxnyn=limxn−xn−1yn−yn−1只需等式右边有极限（定值或正负无穷）