常用数学公式查询与 LaTeX 代码复制

平方差公式Difference of Squaresalgebraa2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)a2−b2=(a−b)(a+b)用于代数式化简或因式分解，$a, b$ 可为任意代数项。

应用范例：已知 $x^2-9$，可分解为 $(x-3)(x+3)$。a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)复制 LaTeX完全平方公式Square of a Sum or Differencealgebra(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2(a±b)2=a2±2ab+b2乘法公式的基本定理，分为完全平方和与完全平方差。

应用范例：$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$。(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2复制 LaTeX立方和公式Sum of Cubesalgebraa3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)代数因式分解重要乘法公式之一。

应用范例：$x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$。a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)复制 LaTeX立方差公式Difference of Cubesalgebraa3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)用于立方差形式的因式分解展开。

应用范例：$x^3 - 27 = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$。a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)复制 LaTeX完全立方公式Cube of a Sum or Differencealgebra(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3多项式展开的常用高阶基本公式。

应用范例：$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$。(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3复制 LaTeX一元二次方程求根公式Quadratic Formulaalgebrax=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​求解方程 $ax^2+bx+c=0$ ($a \neq 0$)，判别式 $\Delta = b^2-4ac \ge 0$。

应用范例：方程 $x^2-3x+2=0$ 的根为 $x_1=2, x_2=1$。x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}复制 LaTeX韦达定理Vieta's Formulasalgebrax1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}x1​+x2​=−ab​,x1​⋅x2​=ac​描述一元二次方程的根与系数之间的直接代数关系。

应用范例：对于 $x^2-5x+6=0$，两根之和为 $5$，积为 $6$。x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}复制 LaTeX指数运算法则Laws of Exponentsalgebraam⋅an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbna^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}, \quad (ab)^n = a^n b^nam⋅an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn描述同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方运算规律。

应用范例：$2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$。a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}, \quad (ab)^n = a^n b^n复制 LaTeX根式运算法则Laws of Radicalsalgebraabn=anbn,anm=amn\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}, \quad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}nab​=na​nb​,mna​​=mna​二次根式及高次方根的乘法与嵌套化简法则。

应用范例：$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$。\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}, \quad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}复制 LaTeX对数基本运算法则Laws of Logarithmsalgebralog⁡b(xy)=log⁡bx+log⁡by,log⁡b(xy)=log⁡bx−log⁡by\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y, \quad \log_b(\frac{x}{y}) = \log_b x - \log_b ylogb​(xy)=logb​x+logb​y,logb​(yx​)=logb​x−logb​y对数的乘积法则与商法则，能将复杂的乘除降维为加减法计算。

应用范例：$\log_2(4 \times 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5$。\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y, \quad \log_b(\frac{x}{y}) = \log_b x - \log_b y复制 LaTeX对数换底公式Change of Base Formulaalgebralog⁡ba=log⁡calog⁡cb=ln⁡aln⁡b\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} = \frac{\ln a}{\ln b}logb​a=logc​blogc​a​=lnblna​用于把任意底数的对数转化为以自然底数 $e$ 或 10 为底的对数，方便计算。

应用范例：$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2} = 1.5$。\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} = \frac{\ln a}{\ln b}复制 LaTeX等差数列通项及求和Arithmetic Progressionalgebraan=a1+(n−1)d,Sn=n(a1+an)2a_n = a_1 + (n-1)d, \quad S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}an​=a1​+(n−1)d,Sn​=2n(a1​+an​)​首项为 $a_1$，公差为 $d$ 的等差数列第 $n$ 项和前 $n$ 项和。

应用范例：数列 $1, 3, 5, 7$，前 4 项和为 $S_4 = 4 \times (1+7)/2 = 16$。a_n = a_1 + (n-1)d, \quad S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}复制 LaTeX等比数列通项及求和Geometric Progressionalgebraan=a1qn−1,Sn=a1(1−qn)1−q (q≠1)a_n = a_1 q^{n-1}, \quad S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \ (q \neq 1)an​=a1​qn−1,Sn​=1−qa1​(1−qn)​ (q=1)首项为 $a_1$，公比为 $q$ 的等比数列通项公式及求和公式。

应用范例：数列 $2, 4, 8, 16$，前 4 项和 $S_4 = 2(1-2^4)/(1-2) = 30$。a_n = a_1 q^{n-1}, \quad S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \ (q \neq 1)复制 LaTeX二项式定理Binomial Theoremalgebra(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k(a+b)n=k=0∑n​(kn​)an−kbk展开两个数之和的任意正整数次幂的公式，其中 $\binom{n}{k} = C_n^k$ 为二项式系数。

应用范例：$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k复制 LaTeX排列与组合公式Permutations and CombinationsalgebraAnm=n!(n−m)!,Cnm=n!m!(n−m)!A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}, \quad C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}Anm​=(n−m)!n!​,Cnm​=m!(n−m)!n!​排列（考虑顺序）与组合（不考虑顺序）的计算公式，其中 $!$ 代表阶乘。

应用范例：从 5 个元素中选 2 个的组合数为 $C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = 10$。A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}, \quad C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}复制 LaTeX欧拉公式Euler's Formulaalgebraeiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\thetaeiθ=cosθ+isinθ复分析中将指数函数与三角函数联系起来的公式。当 $\theta = \pi$ 时，可得欧拉恒等式 $e^{i\pi} + 1 = 0$。

应用范例：$e^{i\pi} = -1$。e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta复制 LaTeX基本均值不等式AM-GM Inequalityalgebraa+b2≥ab(a,b≥0)\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \quad (a, b \ge 0)2a+b​≥ab​(a,b≥0)两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。当且仅当 $a=b$ 时等号成立。

应用范例：已知 $xy=4$ ($x,y>0$)，则 $x+y \ge 2\sqrt{xy} = 4$。\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \quad (a, b \ge 0)复制 LaTeX贝叶斯定理Bayes' TheoremalgebraP(A∣B)=P(B∣A)P(A)P(B)P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(B∣A)P(A)​根据事件的先验概率以及条件概率计算后验概率的公式。

应用范例：已知 $P(A)=0.5, P(B|A)=0.8, P(B)=0.5$，则后验概率 $P(A|B) = 0.8$。P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}复制 LaTeX样本方差与标准差Sample Variance and Standard Deviationalgebras2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2s2=n−11​i=1∑n​(xi​−xˉ)2描述样本中各个数值偏离平均数程度的统计指标，标准差 $s = \sqrt{s^2}$。

应用范例：样本为 $1, 2, 3$，均值为 $2$，则方差 $s^2 = \frac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{2} = 1$。s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2复制 LaTeX三角形面积与周长Area and Perimeter of a TrianglegeometryA=12bh,P=a+b+cA = \frac{1}{2}bh, \quad P = a+b+cA=21​bh,P=a+b+c平面三角形面积等于底边长 $b$ 乘以高 $h$ 的一半；周长为三边和。

应用范例：底 $b=6$，高 $h=4$，则面积 $A = 12$。A = \frac{1}{2}bh, \quad P = a+b+c复制 LaTeX直角三角形勾股定理Pythagorean Theoremgeometrya2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2直角三角形中两直角边 $a, b$ 的平方和等于斜边 $c$ 的平方。

应用范例：直角边分别为 $3$ 和 $4$，则斜边 $c = \sqrt{3^2+4^2} = 5$。a^2 + b^2 = c^2复制 LaTeX海伦公式 (任意三角形面积)Heron's FormulageometryA=p(p−a)(p−b)(p−c),p=a+b+c2A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}A=p(p−a)(p−b)(p−c)​,p=2a+b+c​已知三角形三边长度 $a, b, c$ 且无需知道高，即可求解面积，$p$ 为半周长。

应用范例：三边为 $3, 4, 5$，半周长 $p=6$，面积 $A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = 6$。A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}复制 LaTeX矩形面积与周长Area and Perimeter of a RectanglegeometryA=ab,P=2(a+b)A = ab, \quad P = 2(a+b)A=ab,P=2(a+b)长为 $a$，宽为 $b$ 的矩形/长方形的面积与周长公式。

应用范例：长 $a=5$，宽 $b=3$，则面积 $A = 15$，周长 $P = 16$。A = ab, \quad P = 2(a+b)复制 LaTeX平行四边形面积Area of a ParallelogramgeometryA=bhA = bhA=bh平行四边形面积等于底边长 $b$ 乘以高 $h$。

应用范例：底为 $8$，高为 $5$，面积 $A = 40$。A = bh复制 LaTeX梯形面积Area of a TrapezoidgeometryA=(a+b)h2A = \frac{(a+b)h}{2}A=2(a+b)h​梯形面积等于上底 $a$ 加下底 $b$ 的和乘以高 $h$ 的一半。

应用范例：上底 $3$，下底 $5$，高 $4$，面积 $A = (3+5) \times 4 / 2 = 16$。A = \frac{(a+b)h}{2}复制 LaTeX圆的面积与周长Area and Circumference of a CirclegeometryA=πr2,C=2πrA = \pi r^2, \quad C = 2\pi rA=πr2,C=2πr半径为 $r$ 的圆形面积及周长计算公式，常数 $\pi \approx 3.14159$。

应用范例：半径 $r=2$，则面积 $A = 4\pi \approx 12.57$，周长 $C = 4\pi \approx 12.57$。A = \pi r^2, \quad C = 2\pi r复制 LaTeX扇形面积与弧长Area and Arc Length of a SectorgeometryL=θr,A=12Lr=12θr2L = \theta r, \quad A = \frac{1}{2} L r = \frac{1}{2} \theta r^2L=θr,A=21​Lr=21​θr2扇形半径为 $r$，圆心角为弧度 $\theta$ 时的弧长 $L$ 与面积 $A$ 计算。

应用范例：半径 $r=4$，圆心角 $\theta=\pi$ (半圆)，弧长 $L=4\pi$，面积 $A=8\pi$。L = \theta r, \quad A = \frac{1}{2} L r = \frac{1}{2} \theta r^2复制 LaTeX圆柱体积与表面积Volume and Surface Area of a CylindergeometryV=πr2h,A=2πr2+2πrhV = \pi r^2 h, \quad A = 2\pi r^2 + 2\pi r hV=πr2h,A=2πr2+2πrh圆柱体底面半径为 $r$，高为 $h$ 时的体积 $V$ 与表面积 $A$ 公式。

应用范例：底半径 $r=3$，高 $h=5$，体积 $V = 45\pi \approx 141.37$。V = \pi r^2 h, \quad A = 2\pi r^2 + 2\pi r h复制 LaTeX圆锥体积与表面积Volume and Surface Area of a ConegeometryV=13πr2h,A=πr2+πrlV = \frac{1}{3}\pi r^2 h, \quad A = \pi r^2 + \pi r lV=31​πr2h,A=πr2+πrl底半径为 $r$，高为 $h$，母线长为 $l = \sqrt{r^2+h^2}$ 的圆锥体积与侧表面积。

应用范例：半径 $r=3$，高 $h=4$，母线 $l=5$，侧面积为 $15\pi$，总表面积 $24\pi$。V = \frac{1}{3}\pi r^2 h, \quad A = \pi r^2 + \pi r l复制 LaTeX球体体积与表面积Volume and Surface Area of a SpheregeometryV=43πr3,A=4πr2V = \frac{4}{3}\pi r^3, \quad A = 4\pi r^2V=34​πr3,A=4πr2半径为 $r$ 的三维球体体积及表面积（外表面积）计算。

应用范例：半径 $r=3$，表面积 $A = 36\pi \approx 113.1$。V = \frac{4}{3}\pi r^3, \quad A = 4\pi r^2复制 LaTeX两点间距离公式Distance Formulageometryd=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}d=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​平面直角坐标系中两点 $(x_1, y_1)$ 与 $(x_2, y_2)$ 之间的直线距离。

应用范例：点 $(1, 2)$ 与点 $(4, 6)$ 的距离为 $d = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = 5$。d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}复制 LaTeX中点坐标公式Midpoint FormulageometryxM=x1+x22,yM=y1+y22x_M = \frac{x_1+x_2}{2}, \quad y_M = \frac{y_1+y_2}{2}xM​=2x1​+x2​​,yM​=2y1​+y2​​平面直角坐标系中，以 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 为端点的线段的中点坐标。

应用范例：点 $(1, 2)$ 与点 $(5, 8)$ 的中点坐标为 $(3, 5)$。x_M = \frac{x_1+x_2}{2}, \quad y_M = \frac{y_1+y_2}{2}复制 LaTeX椭圆面积公式Area of an EllipsegeometryA=πabA = \pi a bA=πab半长轴为 $a$，半短轴为 $b$ 的椭圆平面面积。

应用范例：长半轴 $a=5$，短半轴 $b=3$，椭圆面积 $A = 15\pi \approx 47.12$。A = \pi a b复制 LaTeX同角三角函数基本关系Fundamental Trigonometric Identitiestrigonometrysin⁡2θ+cos⁡2θ=1,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}sin2θ+cos2θ=1,tanθ=cosθsinθ​正弦与余弦的平方和恒等于 1，正切等于正弦除以余弦。

应用范例：已知 $\sin\theta = 0.6$，则 $\cos^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$。\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}复制 LaTeX两角和与差的正弦与余弦公式Angle Addition and Subtraction Formulastrigonometrysin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\betasin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ两角和与两角差的正弦展开法则。

应用范例：$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ+30^\circ)$。\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta复制 LaTeX两角和与差的正切公式Tangent Sum and Difference Formulastrigonometrytan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}tan(α±β)=1∓tanαtanβtanα±tanβ​展开求两角和或差的正切值。

应用范例：若 $\tan\alpha=2, \tan\beta=3$，则 $\tan(\alpha+\beta) = \frac{2+3}{1-6} = -1$。\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}复制 LaTeX正弦余弦二倍角公式Double-Angle Formulastrigonometrysin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ,cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, \quad \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\thetasin2θ=2sinθcosθ,cos2θ=cos2θ−sin2θ将两倍角的三角函数值简化并用单倍角来表示。

应用范例：$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$。\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, \quad \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta复制 LaTeX半角公式Half-Angle Formulastrigonometrysin⁡2θ2=1−cos⁡θ2,cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}, \quad \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}sin22θ​=21−cosθ​,cos22θ​=21+cosθ​用单倍角余弦表达其半角的正弦或余弦平方值。

应用范例：$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$。\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}, \quad \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}复制 LaTeX正弦定理Law of Sinestrigonometryasin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2RsinAa​=sinBb​=sinCc​=2R三角形中各边与其对角的正弦值之比相等，且等于外接圆直径 $2R$。

应用范例：已知 $a=5, A=30^\circ$，则外接圆半径 $R = 5$。\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R复制 LaTeX余弦定理Law of Cosinestrigonometryc2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos Cc2=a2+b2−2abcosC任意三角形中已知两边及夹角求第三边的定理，是勾股定理的推广。

应用范例：$a=3, b=4$，夹角 $C=90^\circ$，则 $c^2=9+16-0=25 \Rightarrow c=5$。c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C复制 LaTeX和差化积公式Sum-to-Product Identitiestrigonometrysin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}sinα+sinβ=2sin2α+β​cos2α−β​将两角正弦或余弦的和与差化为积的三角恒等式。

应用范例：$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$。\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}复制 LaTeX积化和差公式Product-to-Sum Identitiestrigonometrysin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]sinαcosβ=21​[sin(α+β)+sin(α−β)]将正弦与余弦的乘积转化为和与差形式的公式。

应用范例：$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$。\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]复制 LaTeX导数定义公式Definition of the Derivativecalculusf′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}f′(x)=Δx→0lim​Δxf(x+Δx)−f(x)​描述函数在某点瞬时变化率的极限定义方式。

应用范例：$f(x)=x^2$ 时，由定义推导导数结果为 $2x$。f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}复制 LaTeX导数四则运算法则Product and Quotient Rulescalculus(uv)′=u′v+uv′,(uv)′=u′v−uv′v2(uv)' = u'v + uv', \quad (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}(uv)′=u′v+uv′,(vu​)′=v2u′v−uv′​函数积与函数商的求导公式（乘积法则与商法则）。

应用范例：$f(x)=x\ln x \Rightarrow f'(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1$。(uv)' = u'v + uv', \quad (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}复制 LaTeX复合函数求导法则 (链式法则)The Chain Rulecalculusdydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}dxdy​=dudy​⋅dxdu​复合函数 $y=f(g(x))$ 的导数计算法则（链式运算法则）。

应用范例：$y=\sin(x^2) \Rightarrow y' = \cos(x^2) \cdot (2x) = 2x\cos(x^2)$。\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}复制 LaTeX基本初等函数求导公式Common Derivative Formulascalculus(xn)′=nxn−1,(ex)′=ex,(ln⁡x)′=1x(x^n)' = n x^{n-1}, \quad (e^x)' = e^x, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}(xn)′=nxn−1,(ex)′=ex,(lnx)′=x1​最基本的幂函数、指数函数、对数函数的求导公式表。

应用范例：$(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x$。(x^n)' = n x^{n-1}, \quad (e^x)' = e^x, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}复制 LaTeX微积分基本定理 (牛顿-莱布尼茨公式)Fundamental Theorem of Calculuscalculus∫abf(x)dx=F(b)−F(a)(F′(x)=f(x))\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \quad (F'(x)=f(x))∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)(F′(x)=f(x))将定积分与不定积分（原函数）建立直接联系的微积分核心定理。

应用范例：$\int_1^2 x dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_1^2 = 2 - 0.5 = 1.5$。\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \quad (F'(x)=f(x))复制 LaTeX分部积分法Integration by Partscalculus∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du∫udv=uv−∫vdu积的求导法则在积分运算上的逆应用，用于求解复杂乘积积分。

应用范例：$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$。\int u dv = uv - \int v du复制 LaTeX常用不定积分公式表Common Integral Formulascalculus∫xndx=xn+1n+1+C,∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C∫xndx=n+1xn+1​+C,∫x1​dx=ln∣x∣+C最基本的初等积分和反导数公式汇总。

应用范例：$\int \sin x dx = -\cos x + C$。\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C复制 LaTeX洛必达法则L'Hôpital's Rulecalculuslim⁡x→cf(x)g(x)=lim⁡x→cf′(x)g′(x)\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}x→clim​g(x)f(x)​=x→clim​g′(x)f′(x)​利用导数计算 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式极限的常用分析学方法。

应用范例：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}复制 LaTeX泰勒公式与麦克劳林展开Taylor and Maclaurin Seriescalculusf(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^nf(x)=n=0∑∞​n!f(n)(a)​(x−a)n用函数在某点各阶导数的值构建的幂级数来近似表达该函数。当 $a=0$ 时为麦克劳林级数。

应用范例：在零点展开：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$。f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n复制 LaTeX